Conheça a regra da homogeneidade para o cálculo de derivadas

Quando ingressamos na universidade, ao cursar o primeiro período, nos deparamos com uma disciplina muito maravilhosa, chamada Cálculo I. Nesta disciplina o aluno inicia o estudo sobre derivadas e a maioria dos alunos sentem dificuldades em assimilar o conteúdo dado em sala de aula devido a vários motivos, dentre os quais podemos citar: o cansaço devido às suas atividades profissionais, despreparo matemático no nível médio, falta de tempo para estudar o exposto no quadro e quantidade de assuntos passados em outras disciplinas. Neste estudo, com o propósito de ajudar o aluno principiante, vamos aprender uma técnica bem básica, passo a passo, sobre derivação chamada de regra da homogeneidade. Vamos seguir a mesma metodologia de ensino usada no nosso estudo intitulado: Como derivar funções usando a regra da potência, o qual você deve acessar antes de começar este novo estudo. As equações desta postagem foram escritas no editor Latex e são melhores visualizadas com o navegador Firefox. Papel e caneta nas mãos e bons estudos.

EXEMPLOS DE ALGUMAS FUNÇÕES NAS QUAIS PODEMOS APLICAR A REGRA DA HOMOGENEIDADE

• $f(x)=-1x^{3};$

• $f(x)=3x^{-5};$

• $f(x)=1x^{7};$

• $f(x)=-5x^{10};$

• $f(x)=-2x^{-4}.$

APLICAÇÃO DA REGRA DA HOMOGENEIDADE

"A derivada de uma constante ($k$) vezes uma função ($u$) é a constante ($k$) vezes a derivada da função ($u$)", ou seja,

$$\frac{d}{dx}(ku)=k\frac{du}{dx}.$$

Como na aula anterior, vamos tentar usar em todos os exercícios as notações funcionais e a notação de Leibniz usando o seguinte operador diferencial:

$$\frac{d}{dx}.$$

Vamos também utilizar a regra da potência (estudada na aula anterior):

$$f'(x)=nx^{n-1}.$$

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1º) Derive a seguinte função: $f(x)=6x^3.$

Podemos escrever a função dada como: $y=6x^3.$ Note que a constante é $k=6$ e a função é $u=x^3.$ Derivando a função em relação a $x$ e aplicando a regra da homogeneidade, temos:

$$f'(y)=f'(6x^3)=6.f'(x^3).$$

Agora, aplicando a regra da potência na função acima, temos:

$$6.f'(x^3)=6.3.x^{3-1}=18x^2.$$

Obteremos o mesmo resultado se aplicarmos na função o operador diferencial, veja:

$$\frac{dy}{dx}= \frac{d(6x^3)}{dx} = 6.(3.x^{3-1})= 18x^{2}.$$

2º) Derive a seguinte função: $f(x)=\frac{1}{3}x^4.$

A função acima pode ser escrita como

$$y=\frac{1}{3}x^4.$$

A constante é $c=\frac{1}{3}$ e a função é $u=x^4$. Usando a notação funcional vamos derivar a função em relação a $x$ e aplicar a regra da homogeneidade. Veja:

$$f'(y)=f'(\frac{1}{3}x^4)=\frac{1}{3}.f'(x^4).$$

Aplicando a regra da potência no resultado acima, temos:

$$\frac{1}{3}.f'(x^4)=\frac{1}{3}.4x^{4-1}=\frac{4}{3}x^{3}.$$

Veja o mesmo resultado obtido acima com a aplicação do operador diferencial:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d(\frac{1}{3}x^4)}{dx}=\frac{1}{3}.(4.x^{4-1})=\frac{4}{3}x^{3}.$$

3º) Derive a seguinte função: $f(x)=-5x^{10}.$

A função acima pode ser escrita como

$$y=-5x^{10}.$$

A constante é $-5$ e a função é $u=x^{10}$. Usando a notação funcional (de Lagrange) vamos derivar a função com respeito a $x$ e aplicar a regra da homogeneidade, veja:

$$f'(y)=f'(-5x^{10})=-5.f'(x^{10}).$$

Aplicando a regra da potência no resultado acima, temos:

$$-5.f'(x^{10})=-5.10x^{10-1}=-50x^{9}.$$

Veja o mesmo resultado obtido acima com a aplicação do operador diferencial, ou seja, na notação de Leibniz temos que:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d(-5x^{10})}{dx}=-5.10.x^{10-1}=-50x^{9}.$$

4º) Derive a seguinte função: $f(x)=100x^{1/2}.$

A função acima pode ser escrita como

$$y=100x^{\frac{1}{2}}.$$

A constante é $100$ e a função é $u=x^{1/2}$. Usando a notação funcional vamos derivar a função em relação a $x$ e aplicar a regra da homogeneidade, veja:

$$f'(y)=f'(100x^{\frac{1}{2}})=100.f'(x^{\frac{1}{2}}).$$

Aplicando a regra da potência no resultado acima, temos que:

$$100.f'(x^{\frac{1}{2}})=100.\frac{1}{2}.x^{\frac{1}{2}-1}=50x^{-\frac{1}{2}}.$$

Podemos também escrever o resultado acima como:

$$50x^{-\frac{1}{2}}=50\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=50\frac{1}{\sqrt[2]{x^{1}}}=\frac{50}{\sqrt{x}}.$$

Portanto,

$$f'(100x^{\frac{1}{2}})=\frac{50}{\sqrt{x}}.$$

Veja o mesmo resultado obtido acima com a aplicação do operador:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d(100x^{1/2})}{dx}=100.\frac{1}{2}.x^{\frac{1}{2}-1}$$
$$=50x^{-\frac{1}{2}}=50\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{50}{\sqrt{x}}.$$

5º) Derive a seguinte função: $f(x)=\frac{1}{3}x^4.$

A função acima pode ser escrita como $y=\frac{1}{3}x^4.$ Vamos usar apenas a aplicação do operador diferencial na nossa função. A constante é $c=\frac{1}{3}$ e a função é $u=x^4$. Derivando-a em relação a $x$ e aplicando a regra da homogeneidade e da potência, temos:

$$\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(\frac{1}{3}x^4)}{dx}=\frac{1}{3}.\frac{d(x^4)}{dx}=\frac{1}{3}.(4.x^{4-1})=\frac{4}{3}.x^{3}.$$

DESAFIOS PARA VOCÊ

Calcule no seu borrão as seguintes derivadas:

• $f(x)=-\frac{1}{2}x^7$;

• $f(x)=\frac{1}{2}x^7;$

• $f(x)=-9x^{9};$

• $f(x)=300x^{1/3};$

• $f(x)=\frac{1}{5}x^{1/2}.$

PROGRAMA QUE CALCULA DERIVADAS PASSO A PASSO

Você pode digitar no programa de derivadas os exemplos acima da seguinte maneira:

• f(x)=-1/2*(x^7) ou y=-1/2*(x^7);

• f(x)=1/2*(x^7) ou y=1/2*(x^7);

• f(x)=-9*(x^9) ou y=-9*(x^9);

• f(x)=300*x^(1/3) ou y=300*x^(1/3);

• f(x)=(1/5)*x^(1/2) ou y=(1/5)*x^(1/2).

Após digitar a derivada no programa, clique em Submit e você terá o resultado. Para ver a operação passo a passo, após clicar em Submit, clique em Show steps. Aproveite e digite no programa todas as funções dadas nesta postagem e compare os resultados. Bons estudos!